Matematika Biner

1. Kata-Kata Introduksi
Teman-teman sekalian pada tulisan kali ini penulis akan akan mengajak anda untuk membahas tentang Matematika Biner (kali ini? Wah, serasa banyak saja tulisan yang udah dibuat ?), yaitu sebuah konsep penghitungan binary berbasis dua, dimana hal ini nantinya akan berkaitan dengan proses komputasi logika sebagai prinsip kerja mesin komputer.
Matematika biner selalu disajikan sebagai mata kuliah pengantar bagi anda yang berdisiplin ilmu komputer, biasanya diajarkan dalam mata kuliah Data Processing (Pemrosesan data), Pengantar Organisasi Komputer (POK) dan mata kuliah Matematika Diskret (Madis). Dalam pengajaran beberapa mata kuliah juga mengandung unsur-unsur penghitungan biner ini, akan tetapi tidak terlalu mutlak.
Jika anda berminat untuk mempelajari konsep jaringan, setidaknya anda harus mengerti konsep IP Address dimana anda diwajibkan tahu untuk
pengubahan dari biner ke desimal ataupun dari desimal menjadi biner. Hal ini berkaitan langsung dengan kelas jaringan dan subenetting.
Beberapa contoh pada tutorial ini disajikan sangat sederhana, dengan tujuan agar lebih mudah memahaminya. Dan penulis juga menyinggung sedikit tentang sejarah kata menghitung dan berhitung. Membosankan? Tentu saja ?. Jadi disarankan kalau memang anda malas untuk membaca sejarahnya, silahkan langsung pada praktiknya.
Selamat membaca, dan nikmatilah kepusingan anda! Ops.. Hampir lupa, tulisan ini ditujukan untuk kamu yang Newbie (baca: pemula!)

2. Konsep Menghitung dan Berhitung
Berhitung adalah cabang dari matematika. Tetapi sekalipun sebagai cabang, berhitung telah menelusuri seluruh tubuh matematika. Anda bisa lihat metoda berhitung ini ada pada aljabar, dalam ilmu ukur (geometri), di teori kemungkinan (probabilitas), statistika, analisis, teori fungsi, topologi, dan hampir keseluruhan batang tubuh matematika (hihihi.. seperti UU aja yah ??)
Jika anda lirik kamus Webster’s New Third International Dictionary, kata berhitung dirumuskan sebagai “cabang matematika yang berkenaan dengan sifat dan hubungan bilangan-bilangan nyata dan dengan perhitungan diantaranya, terutama berkenaan dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian”. Sementara pada kamus Concise Oxford English Dictionary dan American Encyclopedia dengan singkat mengartikan berhitung sebagai “ilmu tentang bilangan”.
Mari kita kembali ke zaman Yunani Kuno, yang telah mengenal kata berhitung sejak zaman tarikh masehi. Mereka menamakan berhitung dengan kata arithmetike, suatu istilah yang diturunkan dari kata arithmos yang berarti “bilangan” dan techne yang berarti “ilmu pengetahuan”. Bahkan mereka merumuskan lebih jauh lagi, bahwa berhitung dan menghitung adalah dua hal yang berbeda sekalipun keduanya bersumber pada satu induk yang sama.
Dari sinilah timbul istilah logistica, yang kalau kita tarik kembali ke sejarah Arthur Schopenhaeur ketika dia menggambarkan berhitung sebagai “kejiwaan yang terendah karena ternyata dapat dilakukan oleh mesin”.
Lantas apa hubungannya dengan komputer? Walah.. belum jelas juga? Baiklah. Pemikiran dari Schopenhaeur itu benar adanya, anda lihat pada masa sekarang telah diciptakan alat bantu menghitung, contohnya alat penjumlah tangan (swipoa), kalkulator elektronik, dan komputer dewasa ini diciptakan untuk melaksanakan logistica yang sederhana maupun sampai tingkat yang rumit. Oke, sampai saat ini sudah jelas bukan? Belum? Hehehe.. no coment deh! Ini berarti penulis yang kurang jelas atau anda yang..? Silahkan di resapi lagi kata-katanya.

3. Matematika Biner
Pada system bilangan desimal, anda pasti akan sangat mudah menandai dan menghitung, karena memang hal ini berkenaan dengan perhitungan sehari-hari. Penulis tidak menklaim bahwa perhitungan biner itu susah, akan tetapi lebih terutama karena faktor kebiasaan saja. Sebagai contoh dari bilangan desimal, untuk angka
157:
157(10) = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)
Perhatikan! Sekarang anda tahu mengapa bilangan desimal ini sering juga disebut basis 10 bukan? Benar. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10 yang didapat dari 100, 101, 102, dlsb (dan lainnya saya bingung.. ?).
Untuk lebih jelasnya, penulis akan ajak anda mengetahui bagaimana penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan biner. Penulis juga akan mengajak anda semakin pusing dengan menerapkan gagasan komplemen pada konsep pengurangan biner. Dalam setiap kasus, supaya anda tidak semakin bingung, penulis juga akan menyertakan bilangan desimal diantaranya.

Pembelajaran
1. Mengenal Konsep Bilangan Biner dan Desimal
Perbedaan mendasar dari metoda biner dan desimal adalah berkenaan dengan basis. Jika desimal berbasis 10 (X10) berpangkatkan 10x, maka untuk bilangan biner berbasiskan 2 (X2) menggunakan perpangkatan 2x. Sederhananya anda perhatikan contoh di bawah ini!
Untuk Desimal:
14(10) = (1 x 101) + (4 x 100)
= 10 + 4
= 14
Untuk Biner:
1110(2) = (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)
= 8 + 4 + 2 + 0
= 14
Tentu saja anda masih bingung dengan konsep tersebut, akan tetapi jika anda melihat susunan dibawah ini bingung anda akan sirna. Diharapkan pada sub bagian ini anda benar-benar memahami bagaimana konsep pengubahan dari biner ke desimal sehingga nantinya anda tidak akan mengalami kesulitan pada materi selanjutnya yaitu pada proses penambahan, pengurangan, maupun perkalian.

2. Mengubah Angka Biner ke Desimal
Saya akan berikan 1 soal, silahkan dipelajari sehingga anda benar-benar familiar dengan bentuk dan otomatis mampu untuk mempelajari tahapan berikutnya. Perhatikan contoh!
1. 11001101(2)

* Biner 1 1 0 0 1 1 0 1 11001101
* Desimal 128 64 0 0 8 4 0 1 205
* Pangkat 26 25 25 24 23 22 21 20 X1-6

Note:
• Angka desimal 205 didapat dari penjumlahan angka yang di arsir (128+64+8+4+1)
• Setiap biner yang bertanda “1” akan dihitung, sementara biner yang bertanda “0” tidak dihitung, alias “0” juga.

3. Mengubah Angka Desimal ke Biner
Untuk mengubah angka desimal menjadi angka biner digunakan metode pembagian dengan angka 2 sambil memperhatikan sisanya. Mari kita perhatikan contohnya!

1. 205(10)
205 : 2 = 102 ?sisa 1
102 : 2 = 51 ?sisa 0
51 : 2 = 25 ?sisa 1
25 : 2 = 12 ?sisa 1
12 : 2 = 6 ?sisa 0
6 : 2 = 3 ?sisa 0
3 : 2 = 1 ?sisa 1
1 ?????sebagai sisa akhir “1”

Note:
Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan dilakukan dari bawah yang berarti:11001101(2

2. 60(10) 60 : 2 = 30 ?isa 0
30 : 2 = 15 ? sisa 0
15 : 2 = 7 ?sisa 1
7 : 2 = 3 ?sisa 1
3 : 2 = 1 ?sisa 1
1 ??????sebagai sisa akhir “1”

Note:
Dibaca dari bawah menjadi 111100(2) atau lazimnya dituliskan dengan 00111100(2). Ingat bentuk umumnnya mengacu untuk 8 digit! Kalau 111100 (ini 6 digit) menjadi 00111100 (ini sudah 8 digit).
3. 14(10)
14 : 2 = 7 ?sisa 0
7 : 2 = 3 ?sisa 1
3 : 2 = 1 ?sisa 1
1 ??? sebagai sisa akhir “1”

Note:
Dibaca dari bawah 1110(2) atau dituliskan 00001110(2) dengan 8 digit.

4. Aritmatika Biner
Pada bagian ini kita akan membahas penjumlahan dan pengurangan biner. Perkalian biner adalah pengulangan dari penjumlahan; dan kita juga akan membahas pengurangan biner berdasarkan ide atau gagasan komplemen.

1. Penjumlahan Biner
Penjumlahan biner tidak begitu beda jauh dengan penjumlahan desimal. Perhatikan contoh penjumlahan desimal antara 167 dan 235!
1 ?7+5=12, (402)tulis “2” di bawah dan angkat “1” ke atas!
167
235
---- +
402
Penghitungan desimal diatas sangat sederhana sekali konsepnya, wah.. kalau anda tidak tau kebangetan deh! Sejak Sekolah Dasar (SD) perhitungan ini sudah diajarkan.
Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah aturan pasangan digit biner
Penghitungan desimal diatas sangat sederhana sekali konsepnya, wah.. kalau anda tidak tau kebangetan deh! Sejak Sekolah Dasar (SD) perhitungan ini sudah diajarkan.
Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah aturan pasangan digit biner berikut:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 ???dan menyimpan 1
sebagai catatan bahwa jumlah dua yang terakhir adalah :
1 + 1 + 1 = 1 ???dengan menyimpan 1 Dengan hanya menggunakan penjumlahan-penjumlahan di atas, kita dapat melakukan penjumlahan biner seperti ditunjukkan di bawah ini:
1 1111 ?“simpanan 1” ingat kembali aturan di atas!
01011011 ?bilangan biner untuk 91
01001110 ?bilangan biner untuk 78
------------ +
10101001 ?Jumlah dari 91 + 78 = 169
Silahkan pelajari aturan-aturan pasangan digit biner yang telah disebutkan di atas! Untuk memudahkan anda, angka desimalnya juga penulis sertakan, walaupun sekarang tanpa disertai angka desimal tersebut, penulis asumsikan anda sudah paham.
Ok, sekarang penulis ingin coba kemampuan anda untuk memahami soal berikut. Kita akan menghitung penjumlahan biner yang terdiri dari 5 bilangan!
11101 ?bilangan 1)
10110 ?bilangan 2)
1100 ?bilangan 3)
11011 ?bilangan 4)
1001 ?bilangan 5)
-------- +
untuk menjumlahkannya, kita hitung berdasarkan aturan yang berlaku, dan untuk lebih mudahnya perhitungan dilakukan bertahap!
11101 ?bilangan 1)
10110 ?bilangan 2)
------- +
110011
1100 ?bilangan 3)
------- +
111111
11011 ?bilangan 4)
------- +
1011010
1001 ?bilangan 5)
------- +
1100011 ???Jumlah Akhir ??
Nah, sekarang coba kamu tentukan berapakah bilangan 1,2,3,4 dan 5! Apakah memang perhitungan di atas sudah benar? Kalau memang sudah benar, ya sudah tidak usah dihitung lagi. Tapi kalau kamu memang ragu, ada baiknya kamu terjemahkan ke desimal terlebih dahulu satu demi satu.


Nah, sekarang coba kamu tentukan berapakah bilangan 1,2,3,4 dan 5! Apakah memang perhitungan di atas sudah benar? Kalau memang sudah benar, ya sudah tidak usah dihitung lagi. Tapi kalau kamu memang ragu, ada baiknya kamu terjemahkan ke desimal terlebih dahulu satu demi satu.

2. Pengurangan Biner
Untuk memahami konsep pengurangan biner, kita harus mengingat kembali perhitungan desimal (angka biasa), kita mengurangkan digit desimal dengan digit desimal yang lebih kecil. Jika digit desimal yang dikurangkan lebih kecil daripada digit desimal yang akan dikurangi, maka terjadi “konsep peminjaman”. Digit tersebut akan meminjam 1 dari digit sebeleh kirinya.
Hihihi.. bingung? Baiklah mari kita lihat contoh saja! Pengurangan bilangan desimal 73426 – 9185 akan menghasilkan:
6 3 ? Angka yang telah di pinjam menjadi 6 dan 3!
7134126 ? Lihat! Angka 7 dan angka 4 dikurangi dengan 1
91 85 ? Digit desimal pengurang.
--------- -
6 42 41 Hasil pengurangan akhir ??
Pengurangan biner dapat dilaksanakan dengan cara yang sama. Tapi untuk menghindarkan kebingungan silahkan lihat Bentuk Umum pengurangan berikut:
0 – 0 = 0
1 – 0 = 0
1 – 1 = 0
0 – 1 = 1 ????degan meminjam ‘1’ dari digit disebelah kirinya!
Untuk penurangan biner dapat dilakukan dengan cara yang sama. Coba perhatikan bentuk pengurangan berikut:
1111011 ?desimal 123
101001 ?desimal 41
--------- -
1010010 ?desimal 82
Pada contoh di atas tidak terjadi “konsep peminjaman”. Perhatikan contoh berikut!
0 kolom ke-3 sudah menjadi ‘0’, sudah dipinjam!
111101 ?desimal 61
10010 ?desimal 18
-------- -
101011 ?Hasil pengurangan akhir 43 ??
Pada soal yang kedua ini kita pinjam ‘1’ dari kolom 3, karena ada selisih 0-1 pada kolom ke-2. Lihat Bentuk Umum!
Jika anda gokil dan cermat pasti anda akan tanya “Bagaimana jika saya tidak dapat meminjam 1 dari kolom berikutnya karena kolom tersebut berupa bilangan ‘0’?”
Wah, berarti anda orang yang cermat. Untuk membahasa hal itu mari kita beri bandingkan jika hal ini terjadi pada bilangan desimal. Mari kita hitung desimal 800046 – 397261!
7999
8000146
3972 61
--------- -
4027 05
Perhatikan bahwa kita meminjam 1 dari kolom keenam untuk kolom kedua, karena kolom ketiga, keemat dan kolom kelima adalah nol. Setelah meminjam, kolom ketiga, keempat, dan kelima menjadi: 10 – 9 = 1
Hal ini juga berlaku dalam pengurangan biner, kecuali bahwa setelah meminjam kolom nol akan mengandung: 10 – 1 = 1
Sebagai contoh pengurangan bilangan biner 110001–1010 akan diperoleh hasil sebagai berikut:
1100101
10 10
---------- -
1001 11
3. Komplemen
Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minus-radiks-komplemen satu atau komplemen radiks. Pertama-tama marilah kita bahas komplemen di dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua). Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini:
“Komplemen sembilan dari bilangan desimal diperoleh dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan 9, sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1”
Lihat contoh nyatanya!
Bilangan Desimal 123 651 914 – Bil Desimal = Kom Seimbang
Komplemen Sembilan 876 348 085 -- Kom Seimbang = Bil Desimal
Komplemen Sepuluh 877 349 086? ditambah dengan 1!
Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris. Jadi, dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876 dengan simple menjadikan jumlahnya=9 (1+8=9, 2+7=9, 3+6=9)! Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1 pada komplemen 9, berarti 876+1=877!
Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh!
893 893 893
321 ? 678 (komp. 9) ? 679 (komp. 10)
---- - ---- + ---- +
572 1571 1572
1
---- +
572 ???angka 1 dihilangkan!

Analogi yang bisa diambil dari perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masing-masing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0. Sedangkan komplemen dua adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh ?!
Bilangan Biner 110011 101010 011100
Komplemen Satu 001100 010101 100011
Komplemen Dua 001101 010110 100100


Pengurangan biner 110001 – 1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini!
110001 110001 110001
001010 110101 110110
--------- - --------- + --------- +
100111 100111 1100111 Angka Depan 1 Di Hilangkan!
Alasan teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan memperhatikan sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang membaca nol!
0 0 0 0 0 0

Jika sekarang kita tambahkan –1 pada pembacaan tersebut; yakni jika speedometer kita putar kembali 1 mil, maka pembacaan akan berubah menjadi!
9 9 9 9 9 9

5. Sistem Oktal dan Heksa Desimal
Bilangan oktal adalah bilangan dasar delapan, sedangkan bilangan heksadesimal atau sering disingkat menjadi heks ini adalah bilangan berbasis enam belas. Karena oktal dan heks ini merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki hubungan yang sangat erat. Katakanlah hubungan antara anak dengan bapaknya, atau cucu dengan neneknya ?. Tapi yang pasti octal dan heksadesimal berkaitan dengan prinsip biner!
Untuk menepis kebingungan anda, silahkan dipelajari contoh-contoh yang saya diberikan!
1. Ubahlah bilangan oktal 63058 menjadi bilangan biner!
6? 110
3? 011
0? 000
5? 101
Note:
• Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit (biner)
• Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Oktal di bawah!

2. Ubahlah bilangan heks 5D9316 menjadi bilangan biner!
5 ? 0101
D ?1101
9 ?1001
3 ?0011
Note:
• Jadi bilangan biner untuk heks 5D9316 adalah 0101110110010011
• Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Heksadesimal di bawah!
3. Ubahlah bilangan biner 1010100001101 menjadi bilangan oktal!
001 ? 1
010 ? 2
100 ? 3
011 ? 4
101 ? 5

Note:
• Kelompokkan bilangan biner yang bersangkutan menjadi 3-bit mulai dari kanan!
4. Ubahlah bilangan biner 101101011011001011 menjadi bilangan heks!
0010 ? 2
1101 ? D
0110 ? 6
1100 ? C
1011 ? B
Tabel Digit Oktal
Digit Oktal Ekivalens 3-Bit
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110


Tabel Digit Heksadesimal
Digit Desimal Ekivalens 4-Bit
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A(10)
B(11)
C(12)
D(13)
E(14)
F(15)

0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1011
1010
1011
1100
1101
1110
1111

Kalau boleh saya berikan soal tambahan untuk anda! Ubahlah bilangan heksadesimal ABE16 menjadi bilangan biner! Silahkan, dan ini bukan karena nama saya ABE lantas anda saya suruh mengerjakan ini. Katakanlah ini sekedar uji coba untuk anda, apakah anda sudah memahami konsep heks dan biner yang telah diuraikan diatas ??! jawabanya adalah 101010111110! Lah, tau darimana? Hihi.. silahkan dilihat pada tabel Digit Heksadesimal di atas deh.


6. Penjelasan (Sangat) Singkat Tentang IP Address
Pada kata-kata introduksi saya sudah jelaskan kalau konsep dari matematika biner ini juga diterapkan pada penentuan IP Address dan konsep subnetting! Tapi untuk belajar lebih lanjut tentang IP Address ini adalah di luar cakupan tulisan ini. Jadi silahkan menambah pemahaman anda dengan membuka-buka buku jaringan anda, atau silahkan di googling aja sendiri!

Penulisan IP Address Dengan Bilangan Biner
IP Address terdiri dari atas 32 bit angka biner, yang dapat dituliskan kedalam empat kelompok 8 bit (oktet) dan dipisahkan oleh tanda titik. Perhatikan contoh di bawah:
11000000.10101000.00000000.00000001? Bilangan Biner
dapat ditulis!
192.168.0.1 ? Penulisan dalam Bilangan Desimal

Anda perhatikan contoh di atas, penulisan IP dalam biner biasanya dipergunakan untuk mempermudah anda untuk melakukan subnetting dan penentuan IP Address pada jaringan.
Tak bosan penulis bilang, untuk pemahaman yang lebih lanjut tentang pembahasan penulisan IP Address, broadcast, bahkan konsep untuk melakukan subnetting silahkan dicari!
OK, sampai jumpa di tulisan atau artikel selanjutnya! ?